Kvadratisk ekvation är en av de matematiska ekvationerna för variabeln som har den högsta effekten av två.
Den allmänna formen av en kvadratisk ekvation eller PK är som följer:
ax 2 + bx + c = 0
där x är variabeln, a , b är koefficienten och c är konstanten. Värdet på a är inte lika med noll.
Grafformer
Om en kvadratisk ekvation beskrivs i termer av kartesiska koordinater (x, y) bildar den ett paraboliskt diagram. Därför kallas också kvadratiska ekvationer ofta som paraboliska ekvationer .
Här är ett exempel på formen av denna ekvation i form av ett paraboliskt diagram
I den allmänna ekvationen värdena a , b , och c påverkar kraftigt den resulterande paraboliska mönstret.
Värdet på a bestämmer parabolens konkava eller konvexa kurva. Om värdet a> 0 öppnas parabolen (konkav) . Omvänt, om a <0 , öppnas parabolen nedåt (konvex) .
Värdet av b i ekvationen bestämmer parabollens topp . Bestäm med andra ord värdet på kurvens symmetriaxel som är lika med x = - b / 2a .
Det konstanta värdet c på ekvationsgrafen bestämmer skärningspunkten för parabolfunktionen på y-axeln . Följande är ett paraboliskt diagram med förändringar i det konstanta värdet c .
Roots of the Quadratic Equation (PK)
Lösningen på en kvadratisk ekvation kallas en kar-roten till den kvadratiska ekvationen .
Olika PK-rötter
Rötterna PK kan lätt hittas med hjälp av den allmänna formeln D = b2 - 4ac från den allmänna ekvationen för kvadratisk ax2 + bx + c = 0.
Följande är typerna av kvadratiska ekvationer.
1. Real Root (D> 0)
Om värdet D> 0 från en PK kommer det att producera verkliga rötter men har olika rötter. Med andra ord är x1 inte samma som x2.
Exempel på den verkliga rotekvationen (D> 0)
Hitta rottypen för ekvationen x2 + 4x + 2 = 0.
Lösning:
a = 1; b = 4; och c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Så eftersom värdet D> 0 är roten av typen real root.
2.Real root är lika med x1 = x2 (D = 0)
Är en typ av rot i en kvadratisk ekvation som producerar rötter med samma värde (x1 = x2).
Exempel på verkliga rötter (D = 0)
Hitta PK-rotvärdet 2x2 + 4x + 2 = 0.
Läs också: Typer av vattencykler (+ fullständig bild och förklaring)Lösning:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Så eftersom värdet på D = 0 är det bevisat att rötterna är verkliga och tvillade.
3. Imaginära rötter / inte riktiga (D <0)
Om värdet D <0 är roten till den kvadratiska ekvationen imaginär / inte verklig.
Exempel på imaginära rötter (D <0) /
Hitta rottypen för ekvationen x2 + 2x + 4 = 0.
Lösning:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Så eftersom värdet på D <0 är roten till ekvationen en overklig eller imaginär rot.
Hitta rötterna i den kvadratiska ekvationen
Det finns flera metoder som kan användas för att hitta rötterna till en kvadratisk ekvation. Bland dem finns faktorisering, perfekta rutor och användning av formeln abc.
I det följande beskrivs flera metoder för att hitta ekvationsrötter.
1. Faktorisering
Faktorisering / faktorisering är en metod för att hitta rötterna genom att leta efter ett värde som, om det multipliceras, kommer att ge ett annat värde.
Det finns tre former av kvadratiska ekvationer (PK) med olika rotfaktorisering, nämligen:
| Nej. | Ekvationsform | Root-Root Factorization |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Följande är ett exempel på ett problem med att använda faktoriseringsmetoden i kvadratiska ekvationer.
Lös kvadratisk ekvation 5x 2 + 13x + 6 = 0 med faktoriseringsmetoden.
Lösning:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 eller x = -2
Så lösningen blir x = -3/5 eller x = -2
2. Perfekta rutor
Den perfekta kvadratiska formen är en kvadratisk ekvation som ger rationella tal .
Resultaten av en perfekt kvadratisk ekvation använder i allmänhet följande formel:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Den allmänna lösningen på den perfekta kvadratiska ekvationen är som följer:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
med (x + p) 2 = q, sedan:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Här är ett exempel på ett problem med att använda den perfekta ekvationsmetoden
Lös ekvationen x2 + 6x + 5 = 0 med den perfekta kvadratiska ekvationsmetoden!
Lösning:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Nästa steg är att lägga till ett nummer på höger och vänster sida så att det kan byta till en perfekt fyrkant.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Så det slutliga resultatet är x = -1 eller x = -5
Läs också: Definition och skillnad mellan homonymer, homofoner och homografer3. ABC-kvadratiska formler
Abc-formeln är ett alternativt val när den kvadratiska ekvationen inte kan lösas med faktorisering eller perfekta kvadratiska metoder.
Följande är abc- formeln för den kvadratiska ekvationen ax2 + bx + c = 0.
Följande är ett exempel på att lösa ett kvadratiskt ekvationsproblem med abc- formeln .
Lös ekvationen x2 + 4x - 12 = 0 med metoden abc formel!
Lösning:
x2 + 4x - 12 = 0
där a = 1, b = 4, c = -12
Konstruera en ny kvadratisk ekvation
Om vi tidigare lärt oss hur vi hittar rötterna till ekvationen, kommer vi nu att lära oss att komponera den kvadratiska ekvationen från de rötter som tidigare varit kända.
Här är några sätt du kan bygga en ny PK på.
1. Konstruera ekvationer när rötterna är kända
Om en ekvation har rötterna x1 och x2, kan ekvationen för dessa rötter uttryckas i termer av
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Exempel:
Hitta en kvadratisk ekvation där rötterna ligger mellan -2 och 3.
Lösning:
x 1 = -2 och x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Så resultatet av ekvationen för dessa rötter är x2-x-6 = 0
2. Konstruera en kvadratisk ekvation om du vet rötternas antal och produkt
Om rötterna till den kvadratiska ekvationen med antalet och gånger x1 och x2 är kända, kan den kvadratiska ekvationen omvandlas till följande form.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Exempel:
Hitta en kvadratisk ekvation med rötterna 3 och 1/2.
Lösning:
x 1 = 3 och x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Således är den kvadratiska ekvationen:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (varje sida multiplicerat med 2)
2x2-5x-3 = 0
Så den kvadratiska ekvationen för rötterna 3 och 1/2 är 2x2-5x-3 = 0.
