Matematisk induktion är en deduktiv metod som används för att bevisa sanna eller falska uttalanden.
Du måste ha studerat matematikinduktion på gymnasiet. Som vi vet är matematisk induktion en förlängning av matematisk logik.
I sin tillämpning används matematisk logik för att studera uttalanden som är falska eller sanna, ekvivalenta eller negationer och drar slutsatser.
Grundläggande koncept
Matematisk induktion är en deduktiv metod som används för att bevisa sanna eller falska uttalanden.
I processen dras slutsatser baserat på giltigheten hos allmänt accepterade uttalanden så att specifika uttalanden också kan vara sanna. Dessutom anses en variabel i matematisk induktion också vara en del av den naturliga uppsättningen tal.
I grund och botten finns det tre steg i matematisk induktion för att bevisa om en formel eller uttalande kan vara sant eller tvärtom.
Dessa steg är:
- Bevisa att ett uttalande eller en formel är sant för n = 1.
- Antag att ett uttalande eller en formel är sant för n = k.
- Bevisa att ett uttalande eller en formel är sant för n = k + 1.
Från ovanstående steg kan vi anta att ett uttalande måste kunna verifieras för n = k och n = k + 1.
Typer av matematisk induktion
Det finns olika typer av matematiska problem som kan lösas genom matematisk induktion. Därför kan matematisk induktion delas in i tre typer, nämligen serier, delning och ojämlikhet.
1. Serie
I denna typ av serie finns vanligtvis det matematiska induktionsproblemet i form av successiv tillsats.
Så i serieproblemet måste sanningen bevisas under den första termen, k-termen och th-termen (k + 1).
2. Division
Vi kan hitta typerna av divisionsmatematikinduktion i olika problem som använder följande meningar:
- a är delbart med b
- b faktor av a
- b delar a
- a multiplar b
Dessa fyra funktioner indikerar att uttalandet kan lösas med matematisk induktion av divisionstyp.
Det man ska komma ihåg är att om talet a är delbart med b är a = bm där m är ett heltal.
3. Ojämlikhet
Ojämlikhetstypen indikeras av ett tecken mer än eller mindre än i uttalandet.
Det finns egenskaper som ofta används för att lösa matematiska induktionstyper av ojämlikheter. Dessa egenskaper är:
- a> b> c ⇒ a> c eller a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc eller a> b och c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c eller a> b ⇒ a + c> b + c
Exempel på matematiska induktionsproblem
Följande är ett exempelproblem så att du bättre kan förstå hur man löser en formelsäker användning med matematisk induktion.
Rad
Exempel 1
Bevisa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), för varje n naturliga tal.
Svar:
P (n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)
Det kommer att bevisas att n = (n) är sant för varje n ∈ N
Första steget :
Det kommer att visas att n = (1) är korrekt
2 = 1 (1 + 1)
Så, P (1) är korrekt
Andra steget :
Antag att n = (k) är sant, dvs.
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Tredje steget
Det kommer att visas att n = (k + 1) också är sant, det vill säga
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Från antagandena:
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1)
Lägg till båda sidor med u k + 1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Så, n = (k + 1) är korrekt
Exempel 2
Använd matematisk induktion för att bevisa ekvationer
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 för alla heltal n ≥ 1.
Svar:
Första steget :Det kommer att visas att n = (1) är korrekt
S1 = 1 = 12
Andra steg
Antag att n = (k) är sant, det vill säga
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Tredje steget
Bevisa att n = (k + 1) är sant
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
kom ihåg att 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
sedan
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
sedan bevisas ovanstående ekvation
Exempel 3
Bevisa att 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 är sant, för varje n naturligt tal
Svar:
Första steget :
Det kommer att visas att n = (1) är korrekt
1 = 12
Så, P (1) är korrekt
Andra steget :
Antag att n = (k) är sant, det vill säga
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Tredje steget:
Det kommer att visas att n = (k + 1) också är sant, det vill säga
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Från antagandena:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Lägg till båda sidor med u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Så, n = (k + 1) är också sant
Division
Exempel 4
Bevisa att n3 + 2n är delbart med 3, för varje n naturligt tal
Svar:
Första steget :
Det kommer att visas att n = (1) är korrekt
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Så, n = (1) är korrekt
Läs också: Förståelse och egenskaper för kommunistisk ideologi + exempelAndra steget :
Antag att n = (k) är sant, det vill säga
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Tredje steget:
Det kommer att visas att n = (k + 1) också är sant, det vill säga
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Eftersom m är ett heltal och k är ett naturligt tal är (m + k2 + k + 1) ett heltal.
Antag att p = (m + k2 + k + 1), sedan
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, där p ∈ ZZ
Så, n = (k + 1) är korrekt
Olikhet
Exempel 5
Bevisa att för varje naturligt tal är n ≥ 2 giltig
3n> 1 + 2n
Svar:
Första steget :
Det kommer att visas att n = (2) är korrekt
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Så, P (1) är korrekt
Andra steget :
Antag att n = (k) är sant, det vill säga
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Tredje steget:
Det kommer att visas att n = (k + 1) också är sant, det vill säga
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (eftersom 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (eftersom 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Så, n = (k + 1) är också sant
Exempel 6
Bevisa att för varje naturligt tal är n ≥ 4 giltigt
(n + 1)! > 3n
Svar:
Första steget :
Det kommer att visas att n = (4) är korrekt
(4 + 1)! > 34
vänster sida: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
höger sida: 34 = 81
Så, n = (4) är korrekt
Andra steget :
Antag att n = (k) är sant, det vill säga
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Tredje steget:
Det kommer att visas att n = (k + 1) också är sant, det vill säga
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (eftersom (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (eftersom k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Så, n = (k + 1) är också sant
