Cirkelekvationer

Ekvationen för en cirkel har den allmänna formen x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, som kan användas för att bestämma en cirkels radie och centrum.

Cirkelekvationen du lär dig nedan har flera former. I olika fall kan ekvationen vara annorlunda. Förstå det därför så att du kan lära dig det utan att memorera.

Cirkel är en uppsättning punkter som ligger lika långt från en punkt. Koordinaterna för dessa punkter bestäms genom arrangemanget av ekvationerna. Detta bestäms baserat på radiens längd och koordinaterna för cirkelns centrum.

Det finns olika slags ekvationer, nämligen ekvationer bildade från mittpunkten och radien och en ekvation som kan hittas för mittpunkten och radien.

Allmän cirkelekvation

Det finns en allmän ekvation, som nedan:

Att döma av ovanstående ekvation kan mittpunkten och radien bestämmas, är:

Cirkelns centrum är:

I mitten av P (a, b) och radie r

Från en cirkel, om du känner till mittpunkten och radien, får du formeln:

Om du känner till en cirkels mittpunkt och cirkelns radie där (a, b) är centrum och r är cirkelns radie.

Från ekvationen som erhållits ovan kan vi avgöra om punkterna ligger på cirkeln eller inom eller utanför. För att bestämma platsen för punkten genom att använda punktsubstitutionen i x- och y-variablerna och sedan jämföra resultaten med kvadraten på cirkelns radie.

En punkt M (x ₁ , y ₁ ) ligger:

På cirkeln:

Inuti cirkeln:

Utanför cirkeln:

Vid med centrum O (0,0) och radie r

Om mittpunkten är vid O (0,0) gör du bytet i föregående del, nämligen:

Från ovanstående ekvation kan det bestämmas placeringen av en punkt på cirkeln.

En punkt M (x ₁ , y ₁ ) ligger:

På cirkeln:

Inuti cirkeln:

Utanför cirkeln: Läs också: Art Is: Definition, Function, Typer och exempel [FULL]

Den allmänna formen för ekvationen kan uttryckas i följande former.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, eller

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, eller

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, där P = -2a, Q = -2b och S = a2 + b2 - r2

Korsningen av linjer och cirklar

En cirkel med ekvationen x2 + y2 + Ax + By + C = 0 kan bestämmas om en linje h med ekvationen y = mx + n inte rör, kränker eller korsar den med hjälp av diskrimineringsprincipen.

……. (ekvation 1)

…… .. (ekvation 2)

Genom att ersätta ekvation 2 med ekvation 1 får du en kvadratisk ekvation, nämligen:

Från den kvadratiska ekvationen ovan, genom att jämföra de diskriminerande värdena, kan det ses om linjen inte kränker, kränker eller korsar cirkeln.

Linje h skär inte / kränker cirkeln, så D <0

H-linjen är tangent till cirkeln, så D = 0

H-linjen skär cirkeln, så D> 0

Ekvationer av tangenter till cirklar

1. Ekvation av tangenter genom en punkt på cirkeln

Tangenter till en cirkel möter exakt en punkt på cirkeln. Från skärningspunkten mellan tangenten och cirkeln kan ekvationen för linjen för tangenten bestämmas.

Ekvationen för tangenten till cirkeln genom punkten P (x ₁ , y ₁ ) kan bestämmas, nämligen:

Form

Tangentens ekvation

Form

Tangentens ekvation

Form

Tangentens ekvation

Problem exempel:

Ekvationen för tangenten genom punkten (-1,1) på cirkeln

är:

Svar:

Känn ekvationen för cirkeln

där A = -4, B = 6 och C = -12 och x ₁ = -1, y ₁ = 1

PGS är

Så ekvationen för tangenten är

2. Ekvationen tangenterar till lutningen

Om en linje med lutning m är tangent till en cirkel,

sedan är ekvationen för tangenten:

Om det är en cirkel,

sedan ekvationen för tangenten:

Om det är en cirkel,

sedan ekvationen för tangenten genom att ersätta r med,

så att:

eller

3. Ekvationer av tangenter till punkter utanför cirkeln

Från en punkt utanför cirkeln kan två tangenter till cirkeln dras.

Läs också: Demokrati: Definition, historia och typer [FULL]

För att hitta tangentekvationen används den formella linjekvationsformeln, nämligen:

Men från denna formel är värdet på linjens lutning okänt. För att hitta linjens lutning, ersätt ekvationen med cirkelekvationen. Eftersom linjen är en tangent kommer substitutionen från ekvationen att resultera i värdet D = 0, och värdet på m kommer att erhållas

Problem exempel

Exempel Problem 1

En cirkel har en mittpunkt (2, 3) och är 8 cm i diameter. Cirkelns ekvation är ...

Diskussion:

Eftersom d = 8 betyder r = 8/2 = 4, så är ekvationen för cirkeln som bildas

(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

Exempel Problem 2

Hitta den allmänna ekvationen för cirkeln centrerad vid punkt (5,1) och förolämpande linjen 3 x - 4 y + 4 = 0!

Diskussion:

Om det är känt att cirkelns centrum ( a , b ) = (5,1) och tangenten till cirkeln är 3 x - 4 y + 4 = 0, formuleras cirkelns radie enligt följande.

Således är den allmänna ekvationen för cirkeln som följer.

Således är den allmänna ekvationen för en cirkel centrerad vid (5,1) och förolämpande linjen 3 x - 4 y + 4 = 0

Exempel Problem 3

Hitta den allmänna ekvationen för en cirkel centrerad vid (-3,4) och förolämpande Y-axeln!

Diskussion:

Först och främst, låt oss först rita grafen för cirkeln, som är centrerad vid (-3,4) och förolämpar Y-axeln!

Baserat på bilden ovan kan man se att cirkelns centrum ligger vid koordinat (-3,4) med en radie på 3, så att:

Således är den allmänna ekvationen som är centrerad vid (-3,4) och förolämpar Y-axeln

I vissa fall är cirkelns radie inte känd, men tangenten är känd. Så hur bestämmer man cirkelns radie? Titta på följande bild.

Bilden ovan visar att tangenten till ekvationen px + qy + r = 0 avser cirkeln centrerad vid C ( a, b ). Radien kan bestämmas av följande ekvation. a, b ). Radien kan bestämmas av följande ekvation.

Kan vara användbart.