Delvis integrerad, substitution, obestämd och trigonometrisk formel

Vi kommer att studera integralformlerna i form av partiella integraler, substitution, obestämd och trigonometri i diskussionen nedan. Lyssna noggrant!

Integral är en form av matematisk operation som är den inversa eller inversa av derivatet och begränsar operationerna för ett visst antal eller område. Sedan också uppdelat i två, nämligen obestämd integral och bestämd integral.

En obestämd integral hänvisar till definitionen av en integral som derivatets inversa (inversa), medan en integral definieras som summan av ett område som begränsas av en viss kurva eller ekvation.

Integral används inom olika områden. Till exempel inom matematik och teknik används integraler för att beräkna volymen på ett roterande objekt och arean på en kurva.

Inom fysik används användningen av integraler för att beräkna och analysera kretsar av elektriska strömmar, magnetfält och andra.

Allmän integreringsformel

Antag att det finns en enkel funktion axn. Funktionen integrerad är

Information:

• k: koefficient
• x: variabel
• n: variabelns kraft / grad
• C: konstant

Antag att det finns en funktion f (x). Om vi ​​ska bestämma det område som avgränsas av diagrammet f (x) kan det bestämmas av

där a och b är de vertikala linjerna eller areagränserna beräknade från x-axeln. Antag att integra för f (x) betecknas med F (x) eller om det är skrivet

sedan

Information:

• a, b: integralens övre och nedre gräns
• f (x): kurvekvation
• F (x): arean under f (x) -kurvan

Integrerade egenskaper

Några av de integrerade egenskaperna är som följer:

Obestämd integral

En obestämd integral är motsatsen till ett derivat. Du kan kalla det ett antiderivat eller antiderivativ.

Läs också: Systematik för jobbansökningsbrev (+ bästa exempel)

Den obestämda integralen av en funktion resulterar i en ny funktion som inte har ett fast värde eftersom det fortfarande finns variabler i den nya funktionen. Den allmänna formen av integralen är naturligtvis.

Obestämd integrerad formel:

Information:

• f (x): kurvekvation
• F (x): arean under f (x) -kurvan
• C: konstant

Exempel på obestämda integraler:

Ersättningsintegral

Vissa problem eller integraler i en funktion kan lösas med substitutionsintegralformeln om det finns en multiplikation av funktionen med en av funktionerna som ett derivat av en annan funktion.

Tänk på följande exempel:

Vi antar att U = ½ x2 + 3 då dU / dx = x

Så att x dx = dU

Den integrerade ekvationen för substitutionen blir

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C.

Exempel

låt oss säga 3x2 + 9x -1 som u

så att du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

sedan ersätter vi u igen med 3x2 + 9x -1 så vi får svaret:

Delvis integrerad

Delvis integrerade formler används vanligtvis för att lösa integralen av produkten av två funktioner. I allmänhet definieras partiella integraler med

Information:

• U, V: funktion
• dU, dV: derivat av funktion U och derivat av funktion V

Exempel

Vad är resultatet av ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx?

Lösning:

Exempel

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Sedan

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

Så att

∫ u dv = uv - duv du

∫ u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

∫ u dv = - (x + 2 / _tre ). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = - (x + 2 / _tre ). cos (3x + 2) +1 / ₉ sin (3x + 2) + C

Sålunda resultaten av ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx är - (x + 2/ ₃ ). cos (3x + 2) +1 / ₉ sin (3x + 2) + C.

Läs också: Egenskaper för planeter i solsystemet (FULL) med bilder och förklaringar

Trigonometrisk integrering

Integrerade formler kan också användas på trigonometriska funktioner. Funktionen av trigonometriska integraler utförs med samma koncept av algebraiska integraler som är det motsatta av härledning. tills man kan dra slutsatsen att:

Bestämning av kurvens ekvation

Lutningar och ekvationer som tangent för kurvan vid en punkt. Om y = f (x) är tangentens lutning vid kurvan vid någon punkt på kurvan y '= = f' (x). Därför kan kurvekvationen bestämmas på följande sätt om tangentens lutning är känd.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + c

Om du känner till någon av punkterna genom kurvan kan du hitta värdet på c så att ekvationen för kurvan kan bestämmas.

Exempel

Lutningen på tangenten till kurvan vid punkten (x, y) är 2x - 7. Om kurvan passerar genom punkten (4, –2), hitta ekvationen för kurvan.

Svar:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

Eftersom kurvan genom punkten (4, –2)

sedan: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Så, kurvekvationen är y = x2 - 7x + 10.

Således diskussionen om flera integrerade formler, förhoppningsvis är detta användbart.